科普向 關於希爾伯特空間

這裏是道長的科普頻道！

正文裏，我們的主角王崎第二次使用的金手指，是來自地球的大數學家大衛·希爾伯特的希爾伯特空間。

由於不想再正文水字數，所以貧道將這個數學方法的科普貼在這裏！有興趣的書友不妨進來一看哦~

阿爾伯特空間並不是確實存在的，而是抽象的、用於演算的工具，即相空間。

每個讀過中學數學的朋友應該都建立過二維的笛卡兒平面：畫一條x軸和一條與其垂直的y軸，並加上箭頭和刻度【也就是通常所說的平面直角座標系】。在這樣一個平面系統裏，每一個點都可以用一個包含兩個變量的座標（x,y）來表示，例如（1,2），或者（4.3,5.4），這兩個數字分別表示該點在x軸和y軸上的投影。當然，並不一定要使用直角座標系統，也可以用極座標或者其他座標系統來描述一個點，但不管怎樣，對於2維平面來說，用兩個數字就可以唯一地指明一個點了。如果要描述三維空間中的一個點，那麼我們的座標裏就要有3個數字，比如（1,2,3），這3個數字分別代表該點在3個互相垂直的維度方向的投影。

讓我們擴展一下思維：假如有一個四維空間中的點，我們又應該如何去描述它呢？顯然我們要使用含有4個變量的座標，比如（1,2,3,4），如果我們用的是直角座標系統，那麼這4個數字便代表該點在4個互相垂直的維度方向的投影，推廣到n維，情況也是一樣。諸位大可不必費神在腦海中努力構想4維或者11維空間是如何在4個乃至11個方向上都互相垂直的，事實上這只是我們在數學上構造的一個假想系統而已。

我們所關心的是：n維空間中的一個點可以用n個變量來唯一描述，而反過來，n個變量也可以用一個n維空間中的點來涵蓋。

現在讓我們回到物理世界，我們如何去描述一個普通的粒子呢？在每一個時刻t，它應該具有一個確定的位置座標（q1,q2,q3），還具有一個確定的動量p。動量也就是速度乘以質量，是一個矢量，在每個維度方向都有分量，所以要描述動量p還得用3個數字：p1，p2和p3，分別表示它在3個方向上的速度。總而言之，要完全描述一個物理質點在t時刻的狀態，我們一共要用到6個變量。而我們在前面已經看到了，這6個變量可以用6維空間中的一個點來概括，所以用6維空間中的一個點，我們可以描述1個普通物理粒子的經典行爲。我們這個存心構造出來的高維空間就是系統的相空間。

假如一個系統由兩個粒子組成，那麼在每個時刻t這個系統則必須由12個變量來描述了。但同樣，我們可以用12維空間中的一個點來代替它。對於一些宏觀物體，比如一隻貓，它所包含的粒子可就太多了，假設有n個吧，不過這不是一個本質問題，我們仍然可以用一個6n維相空間中的質點來描述它。這樣一來，一隻貓在任意一段時期內的活動其實都可以等價爲6n空間中一個點的運動（假定組成貓的粒子數目不變）。我們這樣做並不是喫飽了飯太閒的緣故，而是因爲在數學上，描述一個點的運動，哪怕是6n維空間中的一個點，也要比描述普通空間中的一隻貓來得方便。在經典物理中，對於這樣一個代表了整個系統的相空間中的點，我們可以用所謂的哈密頓方程去描述，並得出許多有益的結論。

——部分選自曹天元《量子物理史話》

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